信号与系统实验报告4精讲

武汉大学教学实验报告

电子信息学院 专业 年 月 日

实验名称 指导教师

姓名 年级 学号 成绩

一、 预习部分

实验目的

实验基本原理

主要仪器设备（含必要的元器件、工具）

实验目的

（1） 在理论学习的基础上，通过实验深刻领会周期信号傅里叶级数分解的物理 意义。

（2） 理解实际应用中通常采用有限项级数来逼近无限项级数， 此时方均误差随 项数的增加而减小。

（3） 观察并初步了解Gibbs现象。

（4） 深入理解周期信号的频谱特点，比较不同周期信号频谱的差异。

实验基本原理

满足Dirichlet 条件的周期信号f（t）可以分解成三角函数形式的傅里叶 级 表达式为

八 /） =+ 角 cos（即）+ $ siii^r） h an cos（料吗f） + bn 血側即）+ …

3E-

cos（n^r） + Z?H 前口（打qf）］

式中n为正整数，角频率w1由周期T1决定。该式表明： 任何满足

Dirichlet 条件的周期信号都可以分解成直流分量及许多正弦、余弦分量。这

些正弦、余弦分量的频率必定是基频 f1 的整数倍。通常把频率为f1的分量称 为基波，频率为nf的分量称为n次谐波。周期信号的频谱只会出现在0 w 2w 3w 4w ,nw 等离散的频率点上， 这种频谱称为离散谱，是周期信号频谱的主 要特点。F（t）波形变化越剧烈，所包含的高频分量的比重就越大； 变化越平缓， 所包含的低频分量的比重就越大。

一般来说，将周期信号分解得到的三角函数形式的傅里叶级数的项数是无限 的。也就是说，通常只有无穷项的傅里叶级数才能与原函数精确相等。 但在实际

应用中，显然无法取至无穷多项，而只能采用有限项级数来逼近无穷项级数。 而

且，所取项数越多，有限项级数就越逼近原函数，原函数与有限项级数间的方均 误差就越小，而且低次谐波分量的系数不会因为所取项数的增加而变化。 当选取

的傅里叶有限级数的项数越多，所合成的波形的峰起就越靠近 f（t）的不连续点。

当所取得项数N很大时，该峰起值趋于一个常数，约等于总跳变值的 9%这种 现象称为吉布斯现象

主要仪器设备

（1） 实验环境

Matlab软件环境

（2） 主要用到的 matlab函数

Plot :给定相同长度的一维向量，画出以他们为横轴纵轴的平面图

Abs :求绝对值

Stem：散点图绘图函数

Stepfun :阶跃函数

Max返回数组的最大值

Sawtooth :三角波函数

实验操作部分

实验数据、表格及数据处理

实验操作过程（可用图表示）

实验结论

实验数据表格及数据处理

四个实验中得到的图展示如下

(1) 周期对称方波信号的合成

分别用前1,2，5,100项傅立叶级数来合成方波信号时得到的图如下

pvJr霍

pvJr霍

(2) 观察Gibbs现象

分别取前10、20、30和40项有限级数来逼近奇对称方波， 观察Gibbs现

象时得到的图如下

(3)周期三角波的合成

分别用前1,2 , 5,100项傅立叶级数来合成方波信号时得到的图如下 每幅图中还画出了标准的方波信号作为比较

(4)绘制周期信号的频谱

分析奇对称方波信号与偶对称三角信号的频谱， 编制程序后画出图像如下 所示(左上坐下分别为周期三角波及其频谱，右上右下为周期方波及其频 谱)

实验操作过程

（1）合成周期方波信号

方波既是一个奇对称信号，又是一个奇谐信号。根据函数的对称性与傅 里叶系数的关系可知，它可以用无穷个奇次谐波分量的傅里叶级数来表示

7 p B

/(0 = — ysiii[2.T(2^ + ?

兀k=o

选取奇对称周期方波的周期T = 0.02s，幅度E = 6，请采用有限项级数替代 无限级数来逼近该函数。分别取前1、2、5和100项有限级数来近似，编写 程序并把结果显示在一幅图中，观察它们逼近方波的过程。

（2） 观察Gibbs现象

分别取前10、20、30和40项有限级数来逼近奇对称方波，观察 Gibbs现 象。程序使用（1）中提供的方法，将循环次数改为相应的值。

（3） 合成周期三角波

偶对称周期三角信号可以用无穷个奇次谐波分量的傅里叶级数表示， 我

采用的三角波幅值为1，大小在0和1之间，周期同（1）中的方波， 为0.02s分别取前1、2、5和100项有限级数来近似，编写程序并把结果 显示在一幅图中，观察它们逼近三角波的过程。

（5）绘制周期信号的频谱

分析奇对称方波信号与偶对称三角信号的频谱，并把它们画出。由于

matlab内置的fft函数算出的结果对于2个参数非常的敏感 采样频率 以及数组的范围，而且fft计算的是有限范围的傅立叶级数，由于舍弃了 有限范围以外的所有数据，所以得到的结果也必然不是准确的结果， 所以 我直接使用公式来计算各个频率点的幅值，然后把幅值画出来。

实验结论

周期方波可以由无限项傅里叶级数来合成，级数越多，合成的波形与原波形 就越相似

如果波形某处出现了跳变，那么用有限多项级数来合成该波形时会出现一个 峰起，这个值趋向于跳变值的9%

周期三角波波可以由无限项傅里叶级数来合成，级数越多，合成的波形与原 波形就越相似，而且由于三角波没有跳变，所以不存在吉布斯现象

偶对称三角波是偶函数，其频率分量包括直流分量，以及奇数倍的余弦分量; 奇对称方波是奇函数，只有奇数项正弦分量。

三、实验效果分析(包括仪器设备等使用效果)

在实验一中，我尝试用不同项数的傅立叶级数来合成方波，从四幅图中可 以看出加入的傅立叶级数越多，其波形与方波的相似度就越高。当我用前 100项来合成时，已经非常逼近方波的波形了，由此我可以做出一个判断， 当我加入的傅立叶级数有无穷多时，就可以得到标准的方波。这样一个过 程让我认识到时域的信号可以看做是频域信号的叠加，我们通过傅里叶变 换可以把时域信号映射到频域上面去，或许有时候这样做可以使我们获取 时域上得不到的信息。

在实验二观察吉布斯现象中，我看到用不同的项数来合成方波时，在突变

处会有峰起，这个值在不同的图中似乎都是占据着总幅值的一定比例，理 论上这个峰起值为总跳变值的9% 我对于这个峰起值的想法是这样的 ――我们用有限多项傅立叶级数来逼近波形时，虽然一步一步的在接近原 波形，可是由于我们不可能取无限多项级数，我们总会漏掉一些频率项。

　如果说我们的波形有突变，也就意味着这个地方包含了一些高频的因子， 而这些高频因子我们不可能全部都包括进来，总会有遗漏，这些遗漏导致 了我们合成的波形不能发生很完美的跳变，所以我们会看到这个 9%勺差

距。

在实验三中，我画出了标准的三角信号，从而与合成的信号作比较，我画

出标准三角信号是采用了三角波函数 sawtooth。从四幅图可以看出，尽管 取更多的级数时合成波形愈加的趋向于标准波形， 可是还是有一些偏差的， 特别是在拐角处。虽然这个波形没有突变值，可是在拐角处我认为还是包 含了一些高频分量的，而我们没有把所有的分量纳入合成波中，所以我认 为这正是偏差的原因所在。

实验四中观察频谱可以发现，偶对称三角波是偶函数，其频率分量包括直

流分量，以及奇数倍的余弦分量。没有正弦分量的原因是因为它是偶函数， 而他没有偶数倍分量的原因是化简后可以看出当 n为偶数时该项为0。奇

对称方波是奇函数，这导致他没有直流分量和余弦分量，而化简后可以看 出当n为偶数时这一项也是等于0,所以他只有奇数项正弦分量。另外， 这两种波一个共同的特点是他们的前几项的频率分量都很大，集中了大部 分的能量，我的图中只画出了前15项级数，因为再往后的话，他们的幅值 就非常的小了。

通过这次的实验，我最大的感觉是上学期在信号与系统课堂上学习的东西 好像“活过来了”，上学期虽然知道时域的信号可以转换到频域上面去， 但是却从没像今天这样真实的体会到这样的转换有什么用。当我看到方波 三角波在频域上的分布能量集中在几个频率点时，我觉得或许在信号传输 的时候我们可以只传输这些频率的信号，一来可以节省信道，二来也不会 丢失太多的信息。

四、教师评语

指导教师 年 月 日

附件 —— matlab 源文件

实验三

%周期三角信号的傅里叶级数 %author 郑程耀 clear all;clc;

t=0:0.00001:0.04;

period=0.02;% 周期

amplitude=1;% 振幅

AC_coe=(4*amplitude)/(p22);%

交流分量的系数

DC_coe=amplitude/2;% fre_w=(2*pi)/period;% p=[1 2 5 100];

%t_z=0:0.01:t(end); %

直流分量的系数

圆频率

最简单的三角波

z=abs(sawtooth(t*(pi/period), 0.5)); %

figure

for ind_p=1:length(p) y=DC_coe;

for k=1:p(ind_p)

y=y+DC_coe*cos((2*k-1)*fre_w*t)/(2*k-1F2;

end

subplot(2,2,ind_p) plot(t,y) hold on

plot(t,z,'r')

axis([0,0.04,-0.5,1.5]);

xlabel('time'); ylabel(strcat(' end

前 ',num2str(p(ind_p)) ,'

项有限级数 '));

实验四

%直接用公式计算各频率分量的振幅，并将他们画出来 %周期三角信号，方波信号的傅里叶级数

%author:郑程耀

clear all;clc;

period=0.02;% 周期

t=0:0.00001:0.04;

N=15;

fre_n=1:2:2*N-1;

fre_n=[0 fre_n];

amplitude=1;% 振幅

AC_coe=(4*amplitude)/(piA2);% 交流分量的系数

DC_coe=amplitude/2;% 直流分量的系数 amplitude_w=DC_coe;

for k=1:length(fre_n)-1

amplitude_k=AC_coe/(2*k-1)A2;

amplitude_w=[amplitude_w amplitude_k];

end

figure

subplot(223)

stem(fre_n,amplitude_w,'*')

axis([-5 fre_n(end) 0 max(amplitude_w)*1.1])

title(' 三角波频谱 ')

xlabel('w')

ylabel('幅值')

%三角波波形

z=abs(sawtooth(t*(pi/period), 0.5)); %

subplot(221)

plot(t,z,'r')

title(' 三角波波形 ')

xlabel('time')

ylabel('amplitude')

%周期方波信号傅里叶级数

amplitude=6;% 振幅

AC_coe=2*amplitude/pi ;% 交流分量的系数

DC_coe=0;% 直流分量的系数

amplitude_w=zeros(1,length(fre_n));

amplitude_w(1)=DC_coe;

for k=1:length(fre_n)-1

amplitude_k=AC_coe/(2*k-1);

amplitude_w(k+1)=amplitude_k;

end

subplot(224)

stem(fre_n,amplitude_w,'*')

axis([-5 fre_n(end) 0 max(amplitude_w)*1.1])

title(' 方波频谱 ')

xlabel('w')

ylabel('幅值')

%方波波形

subplot(222)

z_s=3*stepfun(t,0)-6*stepfun(t,0.01)+6*stepfun(t,0.02)-6*stepfun(t,0.03)+3*stepfun(t,0.04);

plot(t,z_s)

title(' 方波波波形 ');

axis([0 0.04 -3.5 3.5])

xlabel('time')

ylabel('amplitude')